Kuantum İstatistiksel Mekaniği

Kuantum istatistik; Bir çoklu parçacık sistemini oluşturan makroskobik durumdan, mikroskobik duruma geçişte tek tek parçacık gruplarını özellik bakımından değil de –en muhtemel- davranış bakımından inceleyen bir sistemler bütünüdür, dolayısıyla atom ve atom altı düzeyde sistemlerin incelenmesi ve determinist açıdan değil bir olasılık bakımından merkeze oturur ve bu da özdeş sistemlerin toplam enerjileri bakımından nasıl dağıldıklarını bulmak için kullanılır ve bu durum üç istatistik bakımı açısından önem taşımaktadır.

Bunlar;

Klasik istatistiksel parçacıklar (Maxwell-Boltzmann istatistiksel parçacıkları); makro anlamda bir özdeşlik ve ayırt edilebilirlik olduğundan herhangi bir şekilde klasik anlamda sorun yaratmazlar ve bunlara bir gazın molekülleri bu cins parçacıklara örnektir.

Bose-Einstein istatistiğine uyan parçacıklar (Bozonlar); özdeşlik bakımından ayırt edilemeyen ve klasik istatistikle açıklanamayan bir durumun sonucudur. Bunların spinleri tam sayı değeridir (0, 1, 2 gibi) ve bunlara α (alfa) parçacıkları, düşük sıcaklıklardaki helyum atomları ve fotonlar örnek verilebilir. (Bunları uzun uzun açacağız konu içerisinde bu yüzden sadece konu başlığı olarak veriyorum şimdilik).

Fermi-Dirac istatistiğine uyan parçacıklar (Fermiyonlar); Bu grup ailesi yine özdeşlik bakımından ayırt edilemez ve klasik anlamda bir karşılığı olmayan kuantumsal bir davranıştır. Bunlarında spinleri kesirli olup (1/2, 5/2) Pauli dışarlama ilkesine uyan durumlardır. Bunlara da elektron, pozitron, müon, proton örnek verilebilir.

Özdeş Parçacıklar

Adından da anlaşılacağı gibi, tüm özgün iç özellikleri birbirine benzeyen parçacıklara ‘özdeş parçacıklar’ denir (kütle, yük, spin vs.) ve sistemin fiziksel özelliklerinin değişmeden yerlerinin değiş-tokuş edilmesine ‘özdeş parçacıklı sistemler’ denir. Klasik istatistikte –buna zaman zaman Maxwell-Boltzmann istatistiği de denir- örneğin bir sistemi ayırt etmek için parçacıkları tek tek yazmamıza gerek yoktur, klasik istatistik bu durumu deterministçe açıklar, oysa kuantum istatistikte durumlar biraz farklıdır, örneğin bir elektron için ayırt edilme durumu tamamen sıfırdır, yapmamız gereken tek şey elektronları birbirinden uzaklaştırmak olacaktır aksi halde elektronlar bir özdeş sistem içerisinde hareket ederler ve bu durum bir fermiyon ailesi için anti simetriktir.

Fizikçilere göre parçacıklar ya bozon ya da fermiyondur ama her şey bozon ya da fermiyon olmayabilir, örneğin bir basket topu, bir bisiklet tekeri ya da kum tanesi, bunlar birer makroskobik sistemin ölçülebilir durumlarıdır, yani bunlar özdeş değil ayırt edilebilir durumlardır, parçacık derken de şunu kastediyoruz, illa da bu elektron veya müon ya da pion bozonu olmayabilir.

Bir molekülde olabilir mesela Rubityum-85 atomu (veya izotopu) bu bir bozondur (daha önce bozonların tam sayı değeri aldığını hatırlayın)  ve bunları ayırt etmek için bir yöntemimiz var o da fermiyonları sayın ve bir çift oluşuyorsa bozon tek sayı oluşuyorsa o zamanda fermiyondur bu grup, yalnız her atomun ve bileşenin fermiyon olduğuna dikkat edin, -proton, nötron, elektron vs.- dolayısıyla Rubityum-85 atomunun element sayısı 37 dir, Rubityum-85 atomu 37 proton, 48 nötron ve 37 elektrona sahiptir ve toplamda 122 çift fermiyon içerir ve bu da yukarı da söylediğimiz gibi fermiyon çift grubunu bozon olarak ifade eder.

Atom temel parçacık olarak ifade edilirse de 255 kuark, 37 elektron da yine 292 fermiyona denk gelir ki bu da yine çift fermiyon durumudur. Tersi bir duruma da örnek vermek gerekirse –yani fermiyon olarak- Uranyum-235,  çekirdeğinde 235 tane nükleon ve 92de elektron bulundurup tek sayılı fermiyon duruma geçiştir.

Kuantum mekaniğinde bir parçacık –ya da sistemin- durumu dalga fonksiyonuyla ifade edilir. Klasik mekanikte kütle, hız, elektrik yükü gibi durumlar ölçülebilir durumlardır ve burada sorun yok, asıl önemli nokta kuantum mekaniği açısından ifadesidir ve bu durum gözlenir durumda olmayan sistemler için nedir onu ifade etmek gerekir; şöyle ki, dalga fonksiyonunda bir durumun gözlenebilir olması onun (bunu biraz açacağım burada, ψ (psi diye okunuyor) ‘nin mutlak karesi alınarak yani ψ² ifade edilir.

Schrödinger denklemini yazdığında bu durumu tek bir parçacık için öngörebildi ve parçacık ancak belli bir yerde bulunma durumuyla ifade edildi, oysa Alman fizikçi Max Born bu durumu uzayda bir fonksiyon olarak değil tüm uzayda belirli bir durum olarak ifade etmiştir ve bu da şuan kuantum olasılık dediğimiz bir durumun başlangıcı olmuştur) mutlak karesi olarak alınması şartını getirir ve bu da klasik ve kuantum mekaniği arasındaki ayrımı açık bir şekilde ifade eder. Pauli Dışarlama İlkesi Bu konuda biraz Pauli dışarlama ilkesine bakmak yerinde olacaktır.

Bu ilkeye göre, zayıf şart için; -bu durum güçlü şart diye de ifade edilir çünkü parçacık grupları için her durumda Pauli ilkesi farklı sonuçlar ifade eder- Çok sistemli bir atomda kuantum durumunda bulunan iki elektron aynı durumda bulunamaz, bunun diğer ifadesi, eğer orbitalde +1/2 spininde bir parçacık varsa diğeri -1/2 spin durumunda olması gerekir, diğer bir ifadeyle iki fermiyon aynı dalga fonksiyonu durumunda yazılamaz. Güçlü şart ise; Birkaç elektron ihtiva eden bir sistem antisimetrik bir toplam özfonksiyon ile tanımlanmalıdır. Güçlü şartın önemi şuradadır.

Belirli bir simetrinin toplam özfonksiyonlarına ihtiyaç duyan ayırt edilmezliğin gerektirdiği şartı yerine getirir, peki bu iki durum neden farklı şekilde ifade ediliyor dersek de; güçlü şart daha çok kuantum mekaniksel hesaplamalarda, diğer zayıf şart ise yaklaşım hesaplarında daha çok karşımıza çıkmaktadır. Eğer Pauli dışarlama diye bir ilkemiz olmasaydı muhtemelen evren tamamen bozonlarla ifade edilen bir sistemler bütünü olacaktı, bu da evrenin muhtemel bir parçacık çorbası (Hawking’in ifadesiyle) olması durumudur, örneğin üzerine bastığımız zeminin sert olması veya ellerimizin birbiri içerisinden geçmemesinin nedeni tamamen Pauli dışarlama ilkesinin bir sonucudur.

Pauli dışarlama ilkesine uyan parçacıklar ise fermiyonlardır ve maddeyi oluştururlar. İsmi ise İtalyan fizikçi Enrico Fermi ve İngiliz fizikçi Paul Dirac’tan gelmektedir. Yani bu parçacıklara Fermi-Dirac istatistiğine uyan durumlar olarak fermiyonlar denir. Yeri gelmişken bozon durumlarına da örnek verip konuyu kapatabiliriz. Bozonlar dediğimiz gibi simetrik kabul edilen bir iç dalga fonksiyonuna sahip parçacıklardır ve bunlar genelde kuvvet taşıyıcı parçacıklardır (fermiyonlar ise temel parçacıklardır), bunlar α parçacıkları, fotonlar, gluonlar, W, Z bozonları, düşük sıcaklıkta helyum atomları –ki bu konu önemli Feynman’dan alıntı yapmak  istiyorum- ve daha birçok sisteme örnek verebileceğimiz durumları işgal ederler, bozonlar aynı kuantum durumunda bulunduğu için onları bir arada görebiliriz. İsmi de yine Hint fizikçi Bose ve Einstein onuruna Bose-Einstein istatistiğine uyan parçacıklar denir, bozonların da şöyle bir hikayesi vardır.

Hint fizikçi Bose daha önce bir dergiye gönderdiği makalesinde ret cevabı alır, makalenin konusu fotonlardır ama bu durum onu yolundan vazgeçirmez o da makalesini bizzat Almancaya çevirerek Einstein’a yollar, Einstein hemen anlar makalenin değerini ve daha önce ortaya attığı teorisini destekleyen bir olgu daha bulmuştur ve daha sonra bu makale bizzat Einstein tarafından Almanya’da bir dergide yayınlanır Bose-Einstein adına, kısada bir not geçelim, bozon ve fermiyon isimleri de esasında Dirac tarafından ifade edilmiştir.

Kendisi alçak gönüllü birisi olarak kendi isminin verilmesini istememiş ve ona Fermi’den fermiyon konulmasını, diğerine ise Bose’den bozon konulmasını önermiş ve durum kabul edilmiştir, neden Einsteinon değil bunun da iki nedeni var, birisi muhtemelen söylenilmesi zor bir diğer bir ihtimalde Einstein’ın zaten yeterince popüler olduğu düşüncesinden ileri geldiği söyleniliyor, hangi durumda olursa olsun her iki durumda da dört bilim insanı da kuşkusuz (Einstein, Bose, Fermi ve Dirac) bu konuda önemli çalışmaları olduğudur.

Son olarak helyum-4 atomunun neden bu şekilde davrandığını ise dilerseniz Feynman’dan dinleyelim.

Sıvı Helyum Düşük sıcaklıklarda sıvı helyum, şu ana kadar detaylarını doğru bir şekilde tanımlayamadığımız oldukça ilginç özelliklere sahiptir, fakat bu durum çoğu helyum atomunun bir Bose parçacığı gibi davranmasından kaynaklanır. Bunlardan biri sıvı helyumun herhangi bir viskoz direncine uğramaksızın akmasıdır..

Nedeniyse şudur: Bir akışkanın viskoziteye sahip olması iç enerjide kayıplar olmalıdır; bu durum sıvının bir kısmının sahip olduğu hareketin geri kalanından farklı olmasına benzer. Bunun anlamı bazı atomların diğer atomların işgal ettiği durumlardan farklı durumlara sahip olmaları gerektiğidir. Fakat yeterince düşük sıcaklıklarda, eğer termal hareketler çok küçükse, bütün atomlar aynı durumu doldurmak ister. Eğer bazı atomlar ilerliyorsa, bu atomlar özdeş durumlarda birlikte hareket etmeye çalışırlar. Hareketlerinde bir tür katılık vardır ve serbest parçacıklarda olduğu gibi, türbülansın düzensiz desenlerini oluşturmak oldukça zordur. Bu nedenle Bose parçacıkları sıvısındaki bütün atomlar güçlü bir şekilde özdeş durumları doldurma eğilimindedir.

Bu ortak hareket yüksek sıcaklıklarda oluşmaz, çünkü farklı atomları birbirlerinden farklı daha yüksek durumlara yerleştirmek için yeterli iç enerji vardır. Fakat yeterince düşük sıcaklıklarda aniden bütün atomların özdeş durumları doldurmaya çalıştığı bir durum oluşur. Helyum artık bir süper akışkandır. Tesadüfen bu olay sadece atom ağırlığı 4 olan helyum izotopunda meydana gelir. Atom ağırlığı 3 olan helyum izotopu için ayrı ayrı atomlar Fermi parçacıkları gibi davranır ve normal bir akışkan özelliği gösterir. Süper akışkan sadece He⁴’te meydana gelmesine rağmen oldukça açık kuantum mekaniksel bir etkidir, α (alfa) parçacıklarının Bose doğasından kaynaklanmaktadır. Kaynaklar:

1. Kuantum Mekaniğine Giriş – Bekir Karaoğlu (Seçkin Yayınları – 2008)
2. Kuantum Fiziği II – Prof.Dr.Abdulhalik Karabulut/Prof.Dr. Gökhan Budak (Nobel Yayınları – 2011)
3. Kuantum Mekaniği: Temel Kavramlar ve Uygulamaları – Prof. Dr. Tekin Dereli/Prof.Dr. Abdullah Verçin (TÜBA Yayınları – 2014)
4. 101 Soruda Kuantum – Kenneth W. Ford (Çev: Barış Gönülçen) (Alfa Bilim Yayınları – 2014)
5. Atomların Dansı – Marcus Chown (Çev: İmge Tan) (Alfa Bilim Yayınları – 2016)
6. Feynman Fizik Dersleri (Kuantum Mekaniği, Cilt:3) (Çev: Murat Metehan Türkoğlu) (Alfa Bilim Yayınları – 2016)