Kuantum İstatistiksel Mekaniği -1

[Nergiz Kaplan]

Kuantum istatistik; bir çoklu parçacık sistemini oluşturan makroskobik durumdan, mikroskobik duruma geçişte tek tek parçacık gruplarını özellik bakımından değil de –en muhtemel- davranış bakımından inceleyen bir sistemler bütünüdür. Dolayısıyla atom ve atom altı düzeyde sistemlerin incelenmesi ve determinist açıdan değil bir olasılık bakımından merkeze oturur ve bu da özdeş sistemlerin toplam enerjileri bakımından nasıl dağıldıklarını bulmak için kullanılır ve bu durum üç istatistik bakımı açısından önem taşımaktadır, bunlar;

Klasik istatistiksel parçacıklar (Maxwell-Boltzmann istatistiksel parçacıkları); Bunlar makro anlamda bir özdeşlik ve ayırt edilebilirlik olduğundan herhangi bir şekilde klasik anlamda sorun yaratmazlar ve bunlara bir gazın molekülleri bu cins parçacıklara örnektir.

Bose-Einstein istatistiği

Bose-Einstein istatistiğine uyan parçacıklar (Bozonlar); Bunlarda özdeşlik bakımından ayırt edilemeyen ve klasik istatistikle açıklanamayan bir durumun sonucudur. Bunların spinleri tam sayı değeridir (0, 1, 2 gibi) ve bunlara α (alfa) parçacıkları, düşük sıcaklıklardaki helyum atomları ve fotonlar örnek verilebilir.

Fermi-Dirac istatistiğine uyan parçacıklar (Fermiyonlar); Bu grup ailesi yine özdeşlik bakımından ayırt edilemez ve klasik anlamda bir karşılığı olmayan kuantumsal bir davranıştır. Bunlarında spinleri kesirli olup (1/2, 5/2) Pauli dışarlama ilkesine uyan durumlardır. Bunlara da elektron, pozitron, müon, proton örnek verilebilir.

Özdeş Parçacıklar

Adından da anlaşılacağı gibi, tüm özgün iç özellikleri birbirine benzeyen parçacıklara ‘özdeş parçacıklar’ denir. Kütle, yük, spin vs.) ve sistemin fiziksel özelliklerinin değişmeden yerlerinin değiş-tokuş edilmesine ‘özdeş parçacıklı sistemler’ denir.

Klasik istatistikte –buna zaman zaman Maxwell-Boltzmann istatistiği de denir- örneğin bir sistemi ayırt etmek için parçacıkları tek tek yazmamıza gerek yoktur. Klasik istatistik bu durumu deterministçe açıklar. Oysa kuantum istatistikte durumlar biraz farklıdır. Örneğin bir elektron için ayırt edilme durumu tamamen sıfırdır. Yapmamız gereken tek şey elektronları birbirinden uzaklaştırmak olacaktır. Aksi halde elektronlar bir özdeş sistem içerisinde hareket ederler. Bir fermiyon ailesi için anti simetrik bozonlar içinse simetrik kabul edilir.

Parçacıklar ya bozon ya da fermiyondur

Fizikçilere göre parçacıklar ya bozon ya da fermiyondur ama her şey bozon ya da fermiyon olmayabilir. Örneğin bir basket topu, bir bisiklet tekeri ya da kum tanesi, bunlar birer makroskobik sistemin ölçülebilir durumlarıdır. Yani bunlar özdeş değil ayırt edilebilir durumlardır.

Parçacık derken de şunu kastediyoruz; illa da bu elektron veya müon ya da pion bozonu olmayabilir. Bir molekülde olabilir mesela Rubityum-85 atomu (veya izotopu) bu bir bozondur (daha önce bozonların tam sayı değeri aldığını hatırlayın) ve bunları ayırt etmek için bir yöntemimiz var. Fermiyonları sayın ve bir çift oluşuyorsa bozon tek sayı oluşuyorsa o zamanda fermiyondur bu grup.

Yalnız her atomun ve bileşenin fermiyon olduğuna dikkat edin, -proton, nötron, elektron vs.- dolayısıyla Rubityum-85 atomunun element sayısı 37 dir, Rubityum-85 atomu 37 proton, 48 nötron ve 37 elektrona sahiptir ve toplamda 122 çift fermiyon içerir. Yukarı da söylediğimiz gibi fermiyon çift grubunu bozon olarak ifade eder.

Bu atom temel parçacık olarak ifade edilirse de 255 kuark, 37 elektron da yine 292 fermiyona denk gelir ki bu da yine çift fermiyon durumudur. Tersi bir duruma da örnek vermek gerekirse –yani fermiyon olarak- Uranyum-235,  çekirdeğinde 235 tane nükleon ve 92de elektron bulundurup tek sayılı fermiyon duruma geçiştir.

Dalga fonksiyonu

Kuantum mekaniğinde bir parçacık –ya da sistemin- durumu dalga fonksiyonuyla ifade edilir. Klasik mekanikte kütle, hız, elektrik yükü gibi durumlar ölçülebilir durumlardır. Asıl önemli nokta kuantum mekaniği açısından ifadesidir ve gözlenir durumda olmayan sistemler için nedir onu ifade etmek gerekir.

Şöyle ki, dalga fonksiyonunda bir durumun gözlenebilir olması onun (bunu biraz açacağım burada ψ (psi diye okunuyor) ‘nin mutlak karesi alınarak yani ψ² ifade edilir.

Schrödinger denklemini yazdığında bu durumu tek bir parçacık için öngörebildi ve parçacık ancak belli bir yerde bulunma durumuyla ifade edildi. Oysa Alman fizikçi Max Born bu durumu uzayda bir fonksiyon olarak değil tüm uzayda belirli bir durum olarak ifade etmiştir.

Şu an kuantum olasılık dediğimiz bir durumun başlangıcı olmuştur. Mutlak karesi olarak alınması şartını getirir ve bu da klasik ve kuantum mekaniği arasındaki ayrımı açık bir şekilde ifade eder.